Ab Wann Rundet Man Auf

Die Rundung oder auch das Runden ist die Ersetzung einer Zahl durch einen Näherungswert, der gewünschte Eigenschaften lid, welche der ursprünglichen Zahl fehlen.

Homo rundet, um

• Zahlen mit Nachkommastellen leichter lesbar zu machen;
• die beschränkte Anzahl darstellbarer Stellen einzuhalten (auch bei Gleitkommazahlen);
• den Wert irrationaler Zahlen wenigstens ungefähr anzugeben, etwa der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ ;
• um der Genauigkeit eines Ergebnisses Rechnung zu tragen und dadurch Scheingenauigkeit zu vermeiden; dafür werden nicht nur Nachkommastellen gerundet, sondern auch große Ganzzahlen ohne Verkürzung der Darstellung. Zum Beispiel rundet die Bundesagentur für Arbeit dice errechnete Anzahl der Arbeitslosen auf volle 100. Hier bleibt die Anzahl der dargestellten Ziffern unverändert, aber die letzten zwei Stellen werden als nicht signifikant angedeutet;
• eine gegebene Zahl an dice darstellbare oder zu benutzende Einheit anzupassen. Beispiele sind beim Bargeld die kleinste Münze, beim Buchgeld die kleinste rechnerische Währungseinheit, bei Küchenwaagen ganze Gramm, bei Sitzzuteilungsverfahren für die Verhältniswahl ganze Mandate.

Wird eine positive Zahl vergrößert, so spricht man von „aufrunden"; wird sie verkleinert, von „abrunden". Bei negativen Zahlen sind diese Wörter doppeldeutig. Werden Nachkommastellen nur weggelassen, spricht homo von „abschneiden".

Das Zeichen „ungefähr gleich" ( ≈ ) kann darauf hinweisen, dass die nachfolgende Zahl gerundet ist. Es wurde 1892 von Alfred George Greenhill eingeführt.^[1]

Rundungsregeln [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kaufmännisches Runden [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kaufmännische Runden (nicht negativer Zahlen) geschieht wie folgt:^[2]

• Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 0, 1, two, iii oder 4, dann wird abgerundet.
• Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 5, half dozen, 7, eight oder 9, dann wird aufgerundet.

Diese Rundungsregel wird durch dice Norm DIN 1333 beschrieben. Das Runden wird and so auch häufig bereits in der Grundschule gelehrt.

Beispiele (jeweils Rundung auf zwei Nachkommastellen):

• 13,3749… € ≈ xiii,37 €
• thirteen,3750… € ≈ 13,38 €

Negative Zahlen werden nach ihrem Betrag gerundet, bei einer five as well weg von nix (engl: Away from Cypher):

• −13,3749… € ≈ −13,37 €
• −13,3750… € ≈ −xiii,38 €

Das Kaufmännische Runden wird im juristischen Umfeld teilweise auch als Bürgerliches Runden bezeichnet und z. B. in § 14 des Beamtenversorgungsgesetzes so erklärt:

„Der Ruhegehaltssatz ist auf zwei Dezimalstellen auszurechnen. Dabei ist die zweite Dezimalstelle um eins zu erhöhen, wenn in der dritten Stelle eine der Ziffern fünf bis neun verbleiben würde."

Symmetrisches Runden [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kaufmännisches und symmetrisches Runden unterscheiden sich voneinander nur darin, wohin eine Zahl genau in der Mitte zwischen zwei Zahlen mit der gewählten Anzahl von Dezimalziffern gerundet wird.

Dice symmetrische (oder geodätische, mathematische, unverzerrte, wissenschaftliche ^[iii]) Rundung ist wie folgt definiert (Formulierung angepasst):^[4]

1. Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 0, 1, 2, three oder 4, then wird abgerundet.
2. Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 5 (gefolgt von weiteren Ziffern, die nicht alle cypher sind), half dozen, 7, 8 oder eine ix, so wird aufgerundet.
3. Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle lediglich eine 5 (oder eine five, auf die nur Nullen folgen), and then wird derart gerundet, dass die letzte beizubehaltende Ziffer gerade wird („Gerade-Zahl-Regel").

Diese Art der Rundung wird in numerischer Mathematik, Ingenieurwissenschaft und Technik verwendet. Sie ist im IEEE-754-Standard für das Rechnen mit binären Gleitkommazahlen in Computern vorgesehen. In englischsprachiger Literatur heißt sie Circular to Even oder Banker's Rounding.^[five]

Beispiele (Rundung auf eine Nachkommastelle):

• 2,2499 ≈ 2,two (nach Regel i)
• 2,2501 ≈ two,3 (nach Regel 2)
• 2,2500 ≈ 2,2 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)
• 2,3500 ≈ 2,4 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)

Das im vorherigen Abschnitt beschriebene kaufmännische Runden erzeugt kleine systematische Fehler, da das Aufrunden um 0,five vorkommt, das Abrunden um 0,5 jedoch nie; das kann Statistiken geringfügig verzerren. Dice hier beschriebene mathematische Rundung rundet von der genauen Mitte zwischen zwei Ziffern immer zur nächsten geraden Ziffer auf oder ab. Dadurch wird im Mittel etwa ebenso ofttimes auf- wie abgerundet, zumindest wenn die Ursprungszahlen stochastisch sind. (Gegenbeispiel: Sind kleine Zahlen häufiger als große, kann systematisch häufiger nach unten als nach oben gerundet werden, siehe Benfordsches Gesetz.)

Summenerhaltendes Runden [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim summenerhaltenden Runden werden die Summanden and so gerundet, dass deren Summe gleich der gerundeten Summe der Summanden ist. Dabei kann es erforderlich sein, manchen Summanden vom nächstgelegenen gerundeten Wert weg auf den gegenüber gelegenen Wert zu runden.

Wichtige Anwendungen sind dice Sitzzuteilung bei der Verhältniswahl und die Aufteilung der gesamten Mehrwertsteuer in einer Rechnung auf deren einzelnen Posten.

Gründlich erforscht ist der Fall, dass alle Summanden positiv sind, siehe Sitzzuteilungsverfahren.

Für Summanden mit beiderlei Vorzeichen kann man das dortige Hare-Niemeyer-Verfahren verallgemeinern: Man rundet alle Zahlen auf die nächstliegenden runden Zahlen, und solange die Summe zu groß (oder zu klein) ist, wählt human being von den aufgerundeten (beziehungsweise abgerundeten) Zahlen eine derjenigen mit der größten Aufrundung (bzw. dem größten Betrag der Abrundung) und ändert ihre Rundung in die entgegengesetzte Richtung. Damit wird die Summe der Beträge der Änderungen minimal.

Umgang mit gerundeten Zahlen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Runden bereits gerundeter Zahlen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist dice Ausgangszahl bereits das Ergebnis einer Rundung, so muss für den Grenzfall, dass die neue Rundungsstelle 5 ist (und alle Stellen danach Nullen), wenn möglich auf dice ungerundete Zahl zurückgegriffen werden (etwa bei mathematischen Konstanten):

• ungerundete Zahl bekannt: 13,374999747, gerundete Ausgangszahl: thirteen,3750

→ Rundung der ungerundeten Zahl auf zwei Nachkommastellen ergibt: 13,37

• ungerundete Zahl unbekannt, gerundete Ausgangszahl: 13,3750

→ Rundung der zuvor bereits gerundeten Zahl auf zwei Nachkommastellen ergibt: 13,38.

Kennzeichnung von Rundungsergebnissen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In wissenschaftlichen Arbeiten und Logarithmentafeln wird manchmal kenntlich gemacht, ob dice letzte Ziffer durch Auf- oder Abrunden erhalten wurde. Eine Ziffer, die durch Aufrunden erhalten wurde, wird mit einem Strich unter (oder auch oberhalb) der Ziffer kenntlich gemacht, eine Ziffer, dice durch das Runden nicht verändert wurde (dice Zahl wurde also abgerundet), wird mit einem Punkt über der Ziffer gekennzeichnet.

Beispiele:

• ${\displaystyle 3{,}4134928...}$ wird zu ${\displaystyle 3{,}413{\underline {5}}}$ ; diese Zahl wird beim erneuten Runden zu ${\displaystyle three{,}413}$ . Beim erneuten Runden (im Beispiel auf drei Stellen nach dem Komma) ist too abzurunden.
• ${\displaystyle 2{,}6245241...}$ wird zu ${\displaystyle two{,}624{\dot {5}}}$ ; diese Zahl wird beim erneuten Runden zu ${\displaystyle two{,}625}$ , deutlicher ${\displaystyle two{,}62{\underline {v}}}$ . Beim erneuten Runden (im Beispiel auf drei Stellen nach dem Komma) ist also aufzurunden. Für weiteres Runden (hier auf zwei Stellen) wäre abzurunden, angedeutet durch 5.

Sind keine weiteren Stellen bekannt, so wird die Ausgangszahl als exakt angenommen.

Rechnen mit gerundeten Zahlen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Werden gerundete Zahlen in eine Berechnung einbezogen, dann muss auch der Einfluss der Rundung auf das Endergebnis berücksichtigt werden. Abhängig davon, wie dice gerundete Zahl in die Berechnung eingeht (z. B. linear, quadratisch, exponentiell oder auch nur als Summand), muss auch dice Zahl der signifikanten Stellen des Ergebnisses begrenzt werden. Eine genaue Betrachtung wird entsprechend der Unsicherheitsfortpflanzung bei Messunsicherheiten durchgeführt. Eine häufig angewendete einfache Faustregel besagt, dass das Endergebnis auf die gleiche Anzahl signifikanter Stellen gerundet werden soll wie die gerundete Zahl. Wenn z. B. eine Kraft mit 12,two Newton gemessen wird, dann werden alle Endergebnisse, die von dieser Kraft abhängen, and then gerundet, dass maximal drei signifikante Stellen übrig bleiben. Then wird dem Leser nicht eine höhere Genauigkeit vorgetäuscht, als wirklich vorhanden ist. Diese Regel ist allerdings nur dann problemlos anwendbar, wenn das Endergebnis proportional zur gerundeten Zahl ist.

Rundungsregeln formal [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gerade das kaufmännische Runden wird so erklärt, dass auch Kinder es verstehen. Dafür muss man nur Preise von Waren und Gehältern in der Kommaschreibweise kennen. Selbst im Kapitel „Elementarmathematik" des Taschenbuchs der Mathematik von Bronstein/Semendjajew^[6] werden etwas kompliziertere Rundungsregeln ohne Zuhilfenahme tieferer mathematischer Ausdrucksweisen formuliert, allerdings von mathematischen Erläuterungen begleitet. Im vorliegenden Abschnitt kommen einige dieser und einige andere mathematische Gesichtspunkte zur Sprache.

Endliche und unendliche Ziffernfolgen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bronstein/Semendjajew^[6] erörtern das Ab- oder Aufrunden anhand formaler Zahlwörter – Zeichenketten in einem (dezimalen) Stellenwertsystem, nicht zu verwechseln mit der Wortart. Positive Dezimalbrüche ${\displaystyle {\frac {a}{10^{n}}}}$ (im engeren Sinne, ${\displaystyle a,due north\in \mathbb {N} }$ ) können als

${\displaystyle z_{v}z_{v-1}\ldots z_{0},z_{-one}z_{-two}\ldots z_{-n}}$

geschrieben werden (oder umgekehrt). Hierbei gibt es ${\displaystyle v}$ Stellen vor dem Komma (allgemeiner Trennzeichen)^[7] und ${\displaystyle n}$ Stellen danach. ${\displaystyle z_{v},\ldots ,z_{-n}}$ sind aus dem Ziffernvorrat {0,one,2,3,4,5,6,7,viii,ix}.

Andere positive reelle Zahlen können durch Dezimalbrüche (als Näherungswerte) beliebig genau angenähert werden, vgl. Darstellungen verschiedener Zahlenarten und Dezimalbruchentwicklung. Dice Koeffizienten der Dezimalbruchentwicklung

${\displaystyle \sum _{i=five}^{\infty }a_{i}10^{i}}$

einer solchen Zahl ${\displaystyle x}$ ergeben dann eine unendlich lange (durch ein Komma bzw. Trennzeichen unterbrochene) Folge von Ziffern ${\displaystyle z_{v}z_{v-1}\ldots z_{0},z_{-ane}\ldots }$ . Hierbei ist jeweils die Zahl ${\displaystyle a_{i}}$ der Ziffernwert ^[7] von ${\displaystyle z_{i}}$ – 0 hat den Ziffernwert ${\displaystyle 0}$ , i hat den Ziffernwert ${\displaystyle 1}$ usw. Mit

${\displaystyle A(j):=\sum _{i=five}^{-j}a_{i}10^{i}\qquad (j\geq -v)}$

ist dice Folge der Näherungswerte ${\displaystyle A(j)}$ monoton steigend und durch ${\displaystyle x}$ nach oben beschränkt. Mehr noch: der Abbruchfehler ^[8] ${\displaystyle x-A(j)\leq ten^{-j}}$ geht gegen 0, somit konvergiert ${\displaystyle A(j)}$ gegen ${\displaystyle 10}$ . Ist

${\displaystyle Z(j):=z_{v}\ldots z_{0},z_{-1}\ldots z_{-j}}$

jeweils die ${\displaystyle A(j)}$ darstellende Zeichenkette, so ist für ${\displaystyle 1\leq k\leq l}$ die Zeichenkette ${\displaystyle Z(k)}$ ein Präfix der Zeichenkette ${\displaystyle Z(50)}$ , von der unendlich langen, ${\displaystyle ten}$ darstellenden Zeichenkette – salopp ${\displaystyle Z(\infty )}$  – ist es etwas Ähnliches, Bronstein/Semendjajew^[8] nennen es informell ein „Anfangsstück" von letzterer. Dasselbe wie für ${\displaystyle Z(m)}$ lässt sich von ${\displaystyle Z(0):=z_{5}\ldots z_{0}}$ sagen (Komma und Nachkommastellen fehlen).

Dice Aussagen über ${\displaystyle A(j)}$ und ${\displaystyle Z(j)}$ treffen aber auch zu, wenn ${\displaystyle x}$ durch eine endliche Zeichenkette mit ${\displaystyle n}$ Nachkommastellen ${\displaystyle z_{-ane}\ldots z_{-n}}$ darstellbar ist. In diesem Fall sind für ${\displaystyle i>north}$ die Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}=0}$ und die Ziffern ${\displaystyle z_{i}}$ 0. Diese Betrachtungsweise ist auch für die Formulierung von Rundungsregeln hilfreich.

Für negative Zahlen gilt das Entsprechende mit vorangestelltem Minuszeichen usw. (die Folge der Näherungswerte fällt…).

Mit anderen Ziffernvorräten und anderen Kriterien für dice Darstellbarkeit durch endliche Zeichenketten gilt das Vorige auch für Stellenwertsysteme zu anderen Basen statt 10. Die Basis 10 ist alltäglich, wenn human being sich nicht (beruflich) mit der Implementierung von Rundung im Calculator befasst, wo Potenzen von two als Basen dienen.

Die allseits beliebte Pünktchenschreibweise ${\displaystyle z_{-one}...z_{-j}}$ ist formal als folgendermaßen rekursiv definiert zu verstehen ( ${\displaystyle \circ }$ steht für die Konkatenation von Zeichenketten, ${\displaystyle \varepsilon }$ für die leere Zeichenkette):

${\displaystyle z_{-1}\ldots z_{-0}=\varepsilon ;\qquad z_{-1}\ldots z_{-(j+i)}=z_{-1}\ldots z_{-j}\circ (z_{-(j+1)})\quad (j\in \mathbb {N} _{0}).}$

„Abschneiden"/„Abbrechen" [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abschneiden oder Abbrechen/Abbruch^[8] nach der ${\displaystyle b}$ -10 Nachkommastelle einer Zahl, von der ${\displaystyle due north\geq b}$ Nachkommastellen bekannt sind, bedeutet, dass man das „Zahlwort" ${\displaystyle z_{v}\ldots z_{0},z_{-i}\ldots z_{-n}\ldots }$ durch ${\displaystyle z_{v}\ldots z_{0},z_{5+i}\ldots z_{-b}}$ als „Näherung" ersetzt, in der dazu oben verwendeten Notation ${\displaystyle Z(n)}$ durch ${\displaystyle Z(b)}$ . Man verwendet also ein Präfix oder ein „Anfangsstück" einer genaueren Zeichenkette. Der Fall ${\displaystyle b=n}$ liegt praktisch etwa vor, wenn man bei einer nicht mit endlich vielen Ziffern darstellbaren Zahl, nacheinander dice ersten ${\displaystyle n}$ Nachkommastellen bestimmt und keine weiteren – in diesem Fall ist allerdings die durch ${\displaystyle Z(b)}$ dargestellte Zahl Näherungswert eher für ${\displaystyle x}$ . Für die mathematische Rundung auf die ${\displaystyle b}$ -te Nachkommastelle ist jedoch dice Kenntnis von (mindestens) ${\displaystyle z_{-b-1}}$ erforderlich.

Das Abbrechen einer mit ${\displaystyle n>b}$ Nachkommastellen vorliegenden Zahl – z. B. so aus Messwerten errechnet oder vom Messgerät abgelesen – ${\displaystyle b}$ Nachkommastellen kann beim Rechnen mit gerundeten Zahlen sinnvoll sein, oder wenn human being weiß, dass das Gerät zwar ${\displaystyle northward}$ Nachkommastellen anzeigt, aber nur ${\displaystyle b}$ davon zuverlässig messen kann.

Abrunden [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gaußklammer : ${\displaystyle \lfloor ...\rfloor }$ , auch Gauß-, Ganzzahl- oder Abrundungs-Funktion genannt, bildet jede reelle Zahl auf die größte ganze Zahl ab, die nicht größer ist als die reelle Zahl.

Folgerungen:

• Die Gaußfunktion ändert nicht das Vorzeichen, kann aber eine positive Zahl auf null abbilden.
• Für positive Zahlen in Stellenschreibweise ist die Anwendung der Gaußfunktion identisch mit dem Abschneiden der Nachkommastellen (einschließlich des Kommas).
• Für jede negative nicht-ganze Zahl ist der Betrag des Funktionswerts größer als der Betrag der Eingangszahl.

Um eine positive nicht-ganze Zahl ${\displaystyle 10}$ in Stellenschreibweise so abzurunden, dass nur noch die ${\displaystyle b}$ -te Nachkommastelle beibehalten wird (sie auf dice ${\displaystyle b}$ -te Stelle nach dem Komma abzurunden), schneidet human einfach die weiteren Nachkommastellen ab. Im Dezimalsystem ist unter Verwendung der Gaußklammer der aus ${\displaystyle x}$ auf die ${\displaystyle b}$ -te Nachkommastelle abgerundete Wert

${\displaystyle {\frac {\lfloor 10^{b}\cdot x\rfloor }{x^{b}}}=\lfloor 10^{b}\cdot 10\rfloor \cdot ten^{-b}}$ .

Aufrunden [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Gegenstück zur Gaußklammerfunktion ist die Aufrundungsfunktion (auch obere Gaußklammer), die einer reellen Zahl ${\displaystyle x}$ dice ganze Zahl

${\displaystyle \lceil ten\rceil :=\min\{y\in \mathbb {Z} \mid y\geq 10\}}$

zuordnet. Der auf die ${\displaystyle b}$ -te Nachkommastelle aufgerundete Wert einer positiven reellen Zahl ${\displaystyle x}$ ist ${\displaystyle \lceil 10^{b}\cdot 10\rceil \cdot x^{-b}}$ .

Rundung im Computer [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da Gleitkommazahlen im Computer nur einen bestimmten, endlichen Speicherbereich belegen, ist dice Genauigkeit systembedingt eingeschränkt. Nach mathematischen Operationen (wie der Multiplikation) entstehen zudem in der Regel Zahlen, dice eine höhere Genauigkeit benötigen würden. Um das Ergebnis dennoch darstellen zu können, muss in irgendeiner Weise so gerundet werden, dass die Zahl in das vorgesehene Zahlenformat (z. B. IEEE 754) passt.

Das einfachste Rundungsschema ist das Abschneiden (engl. truncation oder chopping): Eine Zahl wird links eines bestimmten Punktes stehen gelassen, der Rest fallen gelassen. Dadurch wird sie auf dice nächstmögliche Zahl abgerundet. Zum Beispiel wird, wenn homo auf nada Nachkommastellen rundet, aus ${\displaystyle 10{,}11_{2}=2{,}75_{10}}$ eine ${\displaystyle 10_{2}=2_{10}}$ . Diese Methode ist sehr schnell, sie leidet aber unter einem verhältnismäßig großen Rundungsfehler (im Beispiel beträgt er ${\displaystyle 0{,}75_{10}}$ ). Das Abschneiden ist jedoch eine unverzichtbare Methode in der digitalen Signalverarbeitung. Als einzige Methode kann mit ihr sicher ein instabiler Grenzzyklus durch Rundungsfehler in digitalen Filtern verhindert werden.

Als weiteres Rundungsschema wird ebenfalls das kaufmännische Runden verwendet (engl. round-to-nearest). Man addiert dabei vor dem Runden ${\displaystyle 0{,}1_{ii}=0{,}5_{ten}}$ auf dice zu rundende Zahl und schneidet danach ab. Im Beispiel hieße das, dass ${\displaystyle 2{,}75_{10}+0{,}5_{10}=iii{,}25_{10}=11{,}01_{two}}$ abgeschnitten wird zu ${\displaystyle 11_{ii}=3_{10}}$ . Der Fehler beträgt hierbei nur ${\displaystyle 0{,}01_{two}=0{,}25_{10}}$ . Allerdings ist dieses Runden positiv verzerrt.

Daher zieht man das mathematische Runden in Betracht (englisch round-to-nearest-even), das bei Zahlen, dice auf ${\displaystyle \ldots {,}\ldots 5_{10}=\ldots {,}\ldots 1_{2}}$ enden, jeweils zur nächsten geraden Zahl rundet. Dieses Rundungsverfahren ist im IEEE-754-Standard vorgesehen. Alternativ kann auch auf dice nächste ungerade Zahl gerundet werden (englisch round-to-nearest-odd).

Wenngleich das mathematische Runden eine gute numerische Leistung zeigt, benötigt es doch eine vollständige Addition, da das Übertragsbit im schlimmsten Fall durch alle Stellen der Zahl wandert. Damit besitzt es eine verhältnismäßig schlechte Laufzeitleistung. Als mögliche Umgehung dieser Problematik bietet sich eine vorgefertigte Tabelle an, die dice gerundeten Ergebnisse enthält, welche nur noch abgerufen werden müssen.

Weblinks [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wiktionary: runden – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Dice Einführung des Euro und die Rundung von Währungsbeträgen (PDF; 200 kB) – Europäische Kommission, 1999

Einzelnachweise [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele, Anne Schilling: Linear Algebra equally an Introduction to Abstract Mathematics. World Scientific, Singapur 2016, ISBN 978-981-4730-35-8, S. 186.
2. ↑ Kaufmännisches Runden – Was ist kaufmännisches Runden? Billomat GmbH & Co. KG (Nürnberg), abgerufen am 31. März 2018 (erläutert besonders den Umgang mit gerundeten Zahlen).
3. ↑ Didaktik der Zahlbereiche (Memento vom nineteen. Februar 2015 im Cyberspace Archive) (PDF; 118 kB) Universität Augsburg, C. Bescherer.
4. ↑ Ilja North. Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik, ISBN 978-3808557891.
5. ↑ How To Implement Custom Rounding Procedures – Commodity 196652, Microsoft Support (2004).
6. ↑ ^{a b} J. Northward. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Hrsg.: Günter Grosche, Viktor Ziegler. 20. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Master 1981, ISBN 3-87144-492-eight, Abschnitt ii.1. „Elementare Näherungsrechnung" (bearbeitet von G. Grosche), Abschnitt ii.one.1.
7. ↑ ^{a b} Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 20. Auflage. 1981, Abschnitt 2.1.1.1. „Zahlendarstellung im Positionssystem", South.149.
8. ↑ ^{a b c} Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 20. Auflage. 1981, Abschnitt 2.1.1.ii. „Abbruchfehler und Rundungsregeln", Southward.150.

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Rundung#:~:text=Das%20Kaufm%C3%A4nnische%20Runden%20(nicht%20negativer,oder%209%2C%20dann%20wird%20aufgerundet.

Posted by: ritenourbeety1943.blogspot.com

Share this post